ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Расстановка ударений: ИНТЕГРА`ЛЬНОЕ УРАВНЕ`НИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ воспроиз-ва населения, матем. уравнение, устанавливающее связь между числ. и возрастной структурой нас., с одной стороны, и возрастными интенсивностями рождаемости и смертности - с другой. Введено А. Дж. Лоткой в серии работ 1907-39. И. у. имеет вид:

(1)

где N(t) - плотность распределения родившихся, т. е. число родившихся данного пола в период t₁, t₂ равно

индекс ^F означает женский, а ^M - мужской пол, l(х, t) - функция дожития, т. е. вероятность для родившегося в момент t дожить до точного возраста х лет; f(x,t) - функция рождаемости, а f(x,t)Δ x - вероятность рождения ребёнка у женщины, родившейся в момент t, достигшей возраста х в интервале возрастов х, х + Δх; δ(t) - доля девочек среди родившихся в момент t, к-рая зависит, в частности, от возрастного состава рожающих женщин. Плотность распределения родившихся мальчиков равна:

N^M(t) = (1 - δ(t))/δ(t)*N^F(t) (2)

Плотность возрастной структуры нас. Р (х, t) находится из соотношений

P^F(x,t) = l^F(x,t - x)N^F(t - x),

P^M(x,t) = l^M(x,t - x)N^M(t - x). (3)

Числ. нас. в интервале возрастов x₁, x₂ в момент t равна

число родившихся девочек в момент t равно

Уравнение (1) есть композиция соотношений (4) и (3) и наз. однородным И. у. Как видно из уравнения, чтобы определить N(t₀) необходимо знать N(t) при t - β₂₁, где β₁, β₂ - начало и конец репродуктивного интервала, т. к. вне интервала репродуктивных возрастов f(х,t) = 0. Такой расчёт не всегда обеспечен статистич. информацией, вследствие чего наряду с однородным, применяется неоднородное И. у. воспроиз-ва нас.; считается, что плотность распределения родившихся известна лишь при t ≥t₀, но известна возрастная числ. нас. в момент t₀P(x,t₀). В этом случае уравнение (1) принимает вид:

Соответственно изменяется уравнение (3) в случае, если t-x ≤t₀.

P(x,t) = l(x,t -x)/l(x - t + t₀, t - x) * P(x - t + t₀,t₀).

Обычно принимают, что δ(t) не зависит от времени (δ(t)= δ). Если допустить, что функции рождаемости и смертности не зависят от момента рождения, то уравнение (1) превращается в И. у. для стабильного населения.

И. у. как элемент моделей воспроизводства населения применяется при анализе взаимозависимостей параметров режима воспроизводства населения.

Е. M. Андреев.

Источники:

1. Демографический энциклопедический словарь/Гл.ред. Валентей Д.И. М.:Советская энциклопедия - 1985